Problema de Basilea

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En teoria de nombres, el problema de Basilea és un problema plantejat per primera vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea).^[1] Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma:

Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la sèrie:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$

La sèrie s'aproxima a un valor proper a 1,644934..., que es pot anar calculant fàcilment afegint termes de la sèrie, però el problema demana el valor exacte, és a dir en una forma tancada (com una fracció, per exemple). Euler demostrà que la suma exacta de la sèrie és π²/6 i ho anuncià el 1735. Tot i així encara trigà 10 anys a donar una demostració totalment rigorosa, ja que la primera realitzava algunes operacions que no estaven plenament justificades.

Cal dir que la generalització d'aquesta sèrie per a qualsevol exponent real o complex és precisament la funció zeta de Riemann, d'importància cabdal en teoria de nombres.